量子物理笔记 - 8：有限深方势阱

考虑有限势能阱：$$V(x)=\begin{cases}-V_0, \quad & -aa\end{cases}$$其中 $V_0>0$，这个势允许有束缚态（$E<0$）以及散射态（$E>0$）。

束缚态设 $E<0$，则在 $|x|>a$ 区域的定态薛定谔方程为：$$\begin{aligned}& -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi=E\psi \\\Rightarrow& \nabla^2\psi=\kappa^2\psi, \quad \kappa=\frac{\sqrt{-2mE}}{\hbar} \\\Rightarrow& \psi(x)=\begin{cases}Ae^{-\kappa x}+Be^{\kappa x}, \quad &x < -a \\Ce^{-\kappa x}+De^{\kappa x}, \quad &x > a\end{cases} \\\Rightarrow& \psi(x)=\begin{cases}Be^{\kappa x}, \quad &x < -a \\Ce^{-\kappa x}, \quad &x > a\end{cases}\end{aligned}$$在 $|x| V_{\min}=-V_0 \\\Rightarrow& \nabla^2\psi=-l^2\psi, \quad l=\frac{\sqrt{2m(E+V_0)}}{\hbar} \\\Rightarrow& \psi(x)=F\sin(lx)+G\cos(lx) \\\end{aligned}$$连续性边界条件为：$$\begin{aligned}& \psi(\mp a^{-})=\psi(\mp a^{+}) \\& \nabla \psi(\mp a^{-})=\nabla \psi(\mp a^{+})\end{aligned}$$由于 $V(x)$ 是偶函数，因此 $\psi(x)$ 总可以取为偶函数或奇函数，于是只需要考虑一侧的边界条件（如 $+a$ 处）。

当 $\psi(x)$ 为偶函数时，有：$$\psi(x)=\begin{cases}Ce^{-\kappa x}, \quad &x>a \\G\cos(lx), \quad &0

（1）宽深势阱：$z_0$ 非常大，交点在略小于 $z_n=\frac{n\pi}{2}$ 处（$n$ 为奇数），有：$$E_n+V_0 \cong \frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m(2a)^2}$$（2）浅窄势阱：当 $z_0$ 减小时，束缚态减少，直到 $z_0<\frac{\pi}{2}$ 时，束缚态消失。

散射态当 $E>0$ 时，$\psi$ 处于散射态，即：$$\psi(x)=\begin{cases}Ae^{ikx}+Be^{-ikx}, \quad &x<-a,\quad & k=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar} \\C\sin(lx)+D\sin(lx), \quad &|x|a, \quad &\text{假设此区域无入射波}\end{cases}$$ 其中：

$A$ 是入射波振幅；

$B$ 是反射波振幅；

$F$ 是透射波振幅。

对定态波函数 $\psi$ 应用连续性边界条件，有：$$\begin{aligned}& \begin{cases}Ae^{-ika}+Be^{ika}=-C\sin(la)+D\cos(la), \quad &\psi(-a^{-})=\psi(-a^{+}) \\ik(Ae^{-ika}-Be^{ika})=l(C\cos(la)+D\sin(la)), \quad &\nabla\psi(-a^{-})=\nabla\psi(-a^{+})\\C\sin(la)+D\cos(la)=Fe^{ika}, \quad&\psi(a^{-})=\psi(a^{+}) \\l(C\cos(la)-D\sin(la))=ikFe^{ika}, \quad &\nabla\psi(a^{-})=\nabla\psi(a^{+})\end{cases} \\\Rightarrow& \begin{cases}B=i\frac{\sin(2la)}{2kl}(l^2-k^2)F \\F=\frac{e^{-2ika}A}{\cos(2la)-i\frac{k^2-l^2}{2kl}\sin(2la)}\end{cases} \\\Rightarrow& T^{-1}=(|F|^2/|A|^2)^{-1}=1+\frac{V_0^2}{4E(E+V_0)}\sin^2\left(\frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E+V_0)}\right)\end{aligned}$$当势阱透明时（$T=1$），有：$$\begin{aligned}& \frac{2a}{\hbar}\sqrt{2m(E_n+V_0)}=n\pi, \quad n\in\mathbb{Z} \\\Rightarrow& E_n+V_0=\frac{n^2\pi^2\hbar^2}{2m(2a)^2}\end{aligned}$$